Комбинаторика. Бином Ньютона

Общим термином «соединения» мы будем именовать три вида композиций, составляемых из некого числа разных частей, принадлежащиходному и тому же огромному количеству (к примеру, буковкы алфавита, книжки в библиотеке, машины на стоянке и т.д.).

Перестановки Комбинаторика. Бином Ньютона. Возьмём n разных частей: a1 , a2 , a3 , …, an . Будем переставлять их всеми вероятными методами, сохраняя их количество и меняя только порядок их расположения. Любая из приобретенных таким макаром композиций именуется перестановкой Комбинаторика. Бином Ньютона. Общееколичество перестановок из n частей обозначается Pn . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n :

Знак n! ( именуется факториал ) - сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · … · ( n – 1 ) · n Комбинаторика. Бином Ньютона .

П р и м е р . Отыскать число перестановок из трёх частей: a, b, c.

Р е ш е н и е . В согласовании с приведенной формулой: P3 = 1 · 2 · Комбинаторика. Бином Ньютона; 3 = 6.
Вправду, мы имеем 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Размещения. Будем составлять группы из m разных частей, взятых из огромного количества, состоящего из n частей, располагая эти m взятых частей Комбинаторика. Бином Ньютона в различном порядке. Приобретенные композиции именуются размещениями из n частей по m .

Их полное количество обозначается: и равно произведению:

П р и м е р . Отыскать число размещений из четырёх частей a, b Комбинаторика. Бином Ньютона, c, d по два.

Р е ш е н и е . В согласовании с формулой получим:

Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

Сочетания. Будем составлять Комбинаторика. Бином Ньютона группы из m разных частей, взятых из огромного количества, состоящего из n частей, не принимая во внимание порядок расположения этих m частей. Тогда мы получим сочетания из n частей Комбинаторика. Бином Ньютона по m .

Их полное количество обозначается и может быть вычислено по формуле:

Из этой формулы ясно, что

Заметим, что можно составить только одно сочетание из n частей по n , которое содержит все n Комбинаторика. Бином Ньютона частей. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что 0! = 1, что является определением 0! .

В согласовании с этим определением получим:


Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:

П р и м Комбинаторика. Бином Ньютона е р . Отыскать число сочетаний из 5 частей: a, b, c, d, e по три.

Р е ш е н и е :

Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Двучлен Комбинаторика. Бином Ньютона Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) n при положительном целом n в виде многочлена:

Заметим, что сумма характеристик степеней для a и b постоянна и равна n.

П Комбинаторика. Бином Ньютона р и м е р 1 .

(см. формулу куба суммы 2-ух чисел ).

Числа именуются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если воспользоваться последующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все следующие строчки Комбинаторика. Бином Ньютона начинаются и завершаются единицей. Промежные числа в этих строчках получаются суммированием примыкающих чисел из предыдущейстроки. Эта схема именуется треугольником Паскаля:

1-ая строчка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; 2-ая - для n Комбинаторика. Бином Ньютона = 2; 3-я - для n = 3 и т.д. Потому, если нужно, к примеру, разложить выражение:

( a + b )7 ,

мы можем получить итог мгновенно, используя таблицу:

Характеристики биномиальных коэффициентов.

1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b Комбинаторика. Бином Ньютона ) n равна 2 n .

Для подтверждения довольно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения двучлена Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует Комбинаторика. Бином Ньютона из соотношения:

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; любая из их равна

Для подтверждения воспользуемся двучленом: Тут чётные члены имеют символ « + » , а нечётные - « - ». Потому что в итоге разложения Комбинаторика. Бином Ньютона выходит 0, то как следует, суммы их биномиальных коэффициентов равны меж собой, потому любая из их равна: что и требовалось обосновать.


komandi-uchastnici-mlg-columbus-gruppa-d.html
komandi-uchastvuyushie-v-debatah.html
komandi-vneshnie-i-vnutrennie.html